科学・基礎／半導体物理学
１３．ホール係数：数値例と単位
ホール係数を測定するには、前項に記したように、試料の \(x\) 方向に電流 \(I_{x}\) （単位面積当り \(J_{x}\) ）を流し、\(z\) 方向に磁界 \(H_{z}\) を加えたときに、\(y\) 方向に発生する電界 \(E_{y}\) を測定します。あとはこれらの値を前項の（１）式（または（７）式の左側の部分）に入れればホール係数 \(R\) が計算できます。
電界 \(E_{y}\) を測定するには、前項の図に示したように、試料の \(y\) 方向に発生する電圧（ホール電圧と言います） \(V_{y}\) を測定します。試料の \(y\) 方向の厚み \(d_{y}\) を予め測定しておけば、 \[E_{y}= V_{y}/d_{y}\] より \(E_{y}\) が求められます。もちろんこの式が成り立つためには試料内で電界 \(E_{y}\) が一様であることが前提になります。電極の接触の仕方などによっては誤差が生じる恐れがありますから注意が必要です。
ところで前項のような理論解析では個々の物理量の数値自体は意識されません。しかし実験や測定を行う場合には、実際に与えることのできる条件や測定できる物理量の数値には使用する機器などによって制限がありますから、具体的に各物理量がどの程度の値になるのかをイメージすることは大変重要です。
例えば、ホール効果の式を各物理量の単位を含めて書くと次式のようになります。 \[R\left (\mathrm{cm}^{2} /\mathrm{C} \right )= 10^{8}\frac{d_{y}\left ( \mathrm{cm} \right )\times V_{y}\left ( \mathrm{V} \right )}{H_{z}\left ( \mathrm{Oe} \right )\times I_{x}\left ( \mathrm{A} \right )}\tag{1}\] ここでは電荷の単位 \(\mathrm{C}\) はクーロン、\(\mathrm{Oe}\) は磁界の単位エルステッドです。
単位が何かをはっきり定義していないと、物理量の数値は意味をなしません。また上式のように単位系の選択によって１０8といった定数がくっついてきたりすることもあります。
しかし単位系というのはかなり複雑でわかりにくい問題です。国際的に単位を統一するために、1954年に MKSA 単位系を国際単位 （SI） 系とすることが定められました。日本には計量法という法律があり、一部例外を認めつつ SI 単位系を国内で標準的に使用することが定められています。この法律の制定は 1992 年ですが、これに伴ってその後、日本で出版された書籍や論文は SI 単位系に統一して記述されているはずです。
MKSA 単位系というのはメートル（距離）、キログラム（質量）、秒（時間）、アンペア（電流）をベースにした単位系です。これに対し、従来使われていたのは cgs 単位系で、こちらはセンチメートル、グラム、秒をベースにしています。
米英で今も使われているヤード・ポンド法やもうほとんど使われなくなった日本の尺貫法からの変換には抵抗はある（あった）でしょうが、cgs から MKS への変換は距離では \(1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}\)、質量では \(1\mathrm{kg}=1000\mathrm{g}\) という換算だけですから、あまり大きな意味はないように見えます。ただし電気、磁気関係の csg 単位系はかなり複雑に枝分かれし、分かりにくいものになっています。この辺りの混乱が SI 単位系への統一を促したのかもしれません。
このように現在、公式の出版物での単位系は MKSA になっていますが、少し古い物理学関係の本は cgs 単位系をベースに書かれています。そのため実験や測定の現場ではまだ従来の単位が使われていることもあると思います。長年の数値感覚を単位の変更で変えるというのはかなり抵抗があるものです。以下で触れると思いますが、例えば移動度の単位は \(\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{V}\cdot\mathrm{s}\) が今でもよく使われ、\(\mathrm{m}^{2}/\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}\) はあまり使われていないように思います。１万倍も数値が違ってくるので、イメージが変わってしまうからではないでしょうか。また cm と m の変換はあまり本質的な意味がなく、わざわざ変更する意味はそれほどないとも考えられます。
一方でオングストローム （ \(\mathring{\mathrm{A}}\) ） という短い長さを表す慣用されてきた単位があります。計量法では波長など特定の目的には使ってもよい例外扱いになっています。しかしこれは一般にあまり使わなくなっています。１\(\mathring{\mathrm{A}}=0.1\mathrm{nm}\) と nm と１桁違いでしかないことも影響しているような気がします。
だいぶ話が逸れましたが、上記（１）式では磁界の単位エルステッド（\(\mathrm{Oe}\)） が cgs 単位系です。MKSA 単位系では \(\mathrm{A}/\mathrm{m}\) が使われます。換算は次式の通りです。なぜ \(4\pi\) が入ってくるのか、など詳細には立ち入りませんが、電磁気関係では単位系が異なると数式自体が変わってくることがあるので注意が必要です。 \[1\mathrm{Oe}= \frac{10^{3}}{4\pi }\mathrm{A/m}\tag{2}\]
クーロンは MKSA の単位ですから、（１）式は単位が統一されていない式です。そこで MKSA 単位系で（１）式を書き直すと次のようになります。ここでも \(R\) の単位のなかの cm を m にするかしないかはあまり重要ではないと思います。 \[R \left (\mathrm{m}^{3}/\mathrm{C} \right )= 4\pi \times 10^{3}\frac{d_{y}\left ( \mathrm{m} \right )\times V_{y}\left ( \mathrm{V} \right )}{H_{z}\left ( \mathrm{A/m} \right )\times I_{x}\left ( \mathrm{A} \right )}\tag{3}\]
以上の点を踏まえてホール係数の数値例を示してみます。
前項の（７）式からわかるようにホール係数 \(R\) はキャリア濃度によって決まってしまうので、材料には依りません。なお、この（７）式の \(q\) の単位はｃｇｓ静電単位で表示されています。もし \(q\) の単位をクーロン（\(\mathrm{C}\)）とすると、光速 \(c\) は不要になり、 \[R\left (\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{C} \right )= \frac{1}{q\left ( \mathrm{C} \right )n\left ( \mathrm{cm}^{-3} \right )}\tag{4}\] となります。電子電荷は\(-1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}\) ですから、 \[R\left (\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{C} \right )= \frac{6.3\times 10^{18}}{n\left ( \mathrm{cm}^{-3} \right )}\tag{5}\] から、\(R\left (\mathrm{cm}^3/\mathrm{C}\right )\) が測定されれば、電子の濃度 \(n\) が \(\mathrm{cm}^{-3}\)の単位で求められます。
かなり古いデータですが、亜酸化銅（\(\mathrm{Cu}_{2}\mathrm{O}\)）に関する数値例(1)を示します。\(R\) が \(-10^{5}\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{C}\) とすると、電子の濃度は大体 \(10^{14}\mathrm{cm}^{-3}\) に相当します。室温のシリコンなどではかなり不純物の少ない真性半導体に近い場合に相当する値です。よく使われる \(n\) 型半導体は３、４桁電子濃度が高いので、\(R\) の絶対値は３、４桁小さくなり、数10から数100といった値になります。
（１）式を参照して、試料の厚さ \(d_{y}\) を 0.1\(\mathrm{cm}\left (=1\mathrm{mm}\right )\)とし、磁界 \(H_{z}\) が \(1000\mathrm{Oe}\)で\(10^{-3}\mathrm{A}\left (1\mathrm{mA}\right )\) の電流 \(I_{x}\) を流せば、ホール電圧 \(V_{y}=0.01\mathrm{V} \left (=10\mathrm{mV}\right )\)が観測されるはずで、このくらいの電圧なら簡単に測定できます。
この \(1000\mathrm{Oe}\) という磁界はどの程度のものかというと結構強い磁界で、机上に載る小さい電磁石では発生できません。透磁率の高い磁芯を使って数100回巻きのコイルに数Aの電流を流すような電磁石が必要です。
\(R\) と移動度 \(\mu\) の関係は前項にも記していますが、単位を含めて書くと \[\mu \left ( \mathrm{cm}^{2}\mathrm{V}^{-1}\mathrm{s}^{-1} \right )= \sigma \left ( \Omega ^{-1}\mathrm{cm}^{-1}\right )\times R\left ( \mathrm{cm}^{3} /\mathrm{C}\right )\tag{6}\]
\(R\) と導電率 \(\sigma\) から移動度 \(\mu\) が求められます。また緩和時間 \(\tau\) も \[\begin{align} \tau \left ( \mathrm{s} \right ) &= 300m/e\times \mu \left (\rm{cm}^{2} \rm{V}^{-1} \rm{s}^{-1} \right ) \\ &= 5.7\times 10^{-16}\times \mu \left ( \mathrm{cm}^{2}\mathrm{V}^{-1}\mathrm{s}^{-1} \right )\tag{7}\end{align}\] より求められます。
(1)植村泰忠、菊池誠著、「半導体の理論と応用（上）」、裳華房 第2章
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