＜付録１０＞クラマース・クロニヒの関係（その１）
付録３で説明したように、複素屈折率の実部が屈折率に相当し、虚部は消衰係数と呼ばれ、吸収係数に相当しています。実はこの実部と虚部、すなわち屈折率と消衰係数は独立に決まるものではなく、一定に関係をもっています。このことは光変調器の原理を考えるうえで大変重要です。そこでここではこの屈折率と消衰係数の関係を導きます。
付録２では複素屈折率を求める際に、複素誘電率から入りましたが、またそこまで戻ります。このときコンデンサと抵抗の並列回路で誘電体を表し、これに交流電圧を印加した場合の応答を考えましたが、ここではまずステップ状の電圧をかける場合を考えます。
この場合、抵抗成分（損失成分）がなければ、コンデンサが瞬時に充電され、それに伴う電流も瞬間的に流れるだけですが、抵抗成分があると充電に遅れが生じ、それに伴ってゆっくり減少する電流が流れます。これを吸収電流と呼んでいます。
このステップ状の電圧印加に伴うコンデンサの充電電荷の変化は模式的に描けば付図１０－１のようになります。ここでは瞬時に充電される電荷分 \(Q_1\) とゆっくり充電される成分 \(Q_2\) に分けて考えます。それぞれに対応する静電容量を
\(C_1\)、\(C_2\)とすると
\[Q_{1}=C_{1}V=\varepsilon_{r \infty}C_{0}V\tag{1}\]
\[Q_{2}=C_{2}V=\varepsilon_{r0}C_{0}V\tag{2}\]
が成り立ちます。ここで \(\varepsilon_{r \infty}\)、\(\varepsilon_{r0}\) はそれぞれ比誘電率、\(C_0\)
は誘電体を真空としたとき（比誘電率＝１）のコンデンサの静電容量です。
電荷の時間変化は
\[\begin{align}Q_{d}(t) &= \left (C_{2}-C_{1}\right )f(t)V \\ &=
\left(\varepsilon_{r0}-\varepsilon_{r\infty}\right)C_{0}f(t)V\end{align}\]
と書くことができ、\(Q_{d}(t)\) は吸収電荷と呼ばれます。ここで \(f(t)\) は時間 \(t\) の経過とともに増加する関数で、
\[f(0)=0\]
\[f(\infty)=1\]
です。この充電に伴って流れる吸収電流 \(I_d\) は
\[I_{d}(t)=\frac{\mathrm{d}Q_{d}(t)}{\mathrm{d}t}=(C_{2}-C_{1})\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}V\]
となります。ここで
\[g(t)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\]
とおくと
\[I_{d}(t)=\left( C_{2}-C_{1}\right )g(t)V=\left(\varepsilon_{r2}-\varepsilon_{r1}\right)C_{0}g(t)V\]
となります。なお、\(g(t)\) を余効関数ということがあります。また瞬時充電電流 \(I_1\) は
\[I_{1}=C_{1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\varepsilon_{r\infty}C_{0}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\]
です。したがって全電流 \(I(t)\) は
\[I(t)=C_{1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}+\left(C_{2}-C_{1}\right)g(t)V\]
となります。
つぎに印加される電圧が変化する場合を考えます。付図１０－２（ａ）のように任意の時間 \(t_i(i=1,2,\cdots)\) ごとに電圧が \(\Delta V(t_i)\) だけ階段状に増減するとします。このとき吸収電流は各電圧が単独で印加された場合（同図（ｂ））の重ね合わせで表されます。吸収電流を式で表すと
\[I_{d}(t)=\left (C_{2}-C_{1}\right )\sum_{i=1}^{i}\Delta V(t_{i})g(t-t_{i})\]
と書けます。この原理はホプキンソンの重ね合わせの理として知られています。
この重ね合わせに用いた階段状の変化が時間間隔、電圧間隔がともに細かくなっていった極限を考えます。これは付図１０－２（ａ）に破線で示したような滑らかな曲線状の変化になると考えられます。そのような場合の式は積分を使って次のように書き直せると考えられます。
\[I_{d}(t)=\left(C_{2}-C_{1}\right)\int_{-\infty}^{t}\frac{\mathrm{d}V(u)}{\mathrm{d}u}g\left(t-u\right)\mathrm{d}u\]
ここで、\(t-u=\tau\) と置くと
\[I_{d}(t)=\left(C_{2}-C_{1}\right)\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}V\left(t-\tau\right)}{\mathrm{d}t}g(\tau)d\tau\]
全電流は
\[I(t)=C_{1}\frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t}+\left(C_{2}-C_{1}\right)\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}V(t-\tau)}{\mathrm{d}t}g(\tau)d\tau\]
となります。
積分による表示ができたところで
\[V(t)=V_{0}\exp(i\omega t)\]
と置いて、電圧が付図１０－２（ａ）の破線のように正弦波で変化しているとすると
\[\begin{align}I &= i\omega V\lbrace C_{1}+(C_{2}-C_{1})\int_{0}^{\infty}\exp
(-i\omega\tau)g(\tau)\mathrm{d}\tau\rbrace \\ &= i\omega V\lbrace C_{1}+(C_{2}-C_{1})\int_{0}^{\infty}g(\tau)\cos\omega\tau\mathrm{d}\tau\rbrace
\\ &= \omega V(C_{2}-C_{1})\int_{0}^{\infty}g(\tau)\sin\omega\tau\mathrm{d}\tau\end{align}\]
最初の（１）、（２）式の関係を用いると
\[I=i\omega C_{0}V\left\lbrace\varepsilon_{r\infty}+(\varepsilon_{r0}-\varepsilon_{r\infty})\int_{0}^{\infty}g(\tau)\exp
(i\omega\tau)\mathrm{d}\tau\right\rbrace\]
または
\[I=i\omega C_{0}V\left\lbrace\varepsilon_{r\infty}+(\varepsilon_{r0}-\varepsilon_{r\infty})\int_{0}^{\infty}g(\tau)\cos\omega\tau\mathrm{d}\tau\right\rbrace\]
\[+i\omega C_{0}V\left\lbrace\varepsilon_{r\infty}+(\varepsilon_{r0}-\varepsilon_{r\infty})\int_{0}^{\infty}g(\tau)\sin\omega\tau\mathrm{d}\tau\right\rbrace\]
これらの式と
\[I=\left(i\omega\varepsilon_{r1}+\omega\varepsilon_{r2}\right)C_{0}V\]
を比較すると
\[\varepsilon{_{r}}^{*}(\omega)=\varepsilon_{r\infty}+(\varepsilon_{r0}-\varepsilon_{r\infty})\int_{0}^{\infty}g(\tau)\exp(-i\omega\tau)\mathrm{d}\tau\]
であり、さらに実部、虚部に分けて
\[\frac{\varepsilon_{r1}(\omega )-\varepsilon_{r\infty}}{\varepsilon_{r0}-\varepsilon_{r\infty}}=\int_{0}^{\infty}g(\tau)\cos\omega\tau\mathrm{d}\tau\]
\[\frac{\varepsilon_{r2}(\omega)}{\varepsilon_{r0}-\varepsilon_{r\infty}}=\int_{0}^{\infty}g(\tau)\sin\omega\tau\mathrm{d}\tau\]
と書けます。この２式はフーリエ変換の公式に当てはめると（付録１２参照）
\[g(\tau)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon_{r1}(\omega)-\varepsilon_{r\infty}}{\varepsilon_{r0}-\varepsilon_{r\infty}}\cos\omega\tau\mathrm{d}\tau\]
\[g(\tau)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon_{r2}(\omega)}{\varepsilon_{r0}-\varepsilon_{r\infty}}\sin\omega\tau\mathrm{d}\tau\]
のように逆の関係の２式が得られます。この２式からｇ(τ)を消去すると
\[\varepsilon_{r1}(\omega)-\varepsilon_{r\infty}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\varepsilon_{r2}(\omega')\frac{\omega'}{\omega^{2}-\omega'^{2}}\mathrm{d}\omega'\]
\[\varepsilon_{r2}(\omega)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\lbrace\varepsilon_{r1}(\omega')-\varepsilon_{r\infty}\rbrace\frac{\omega'}{\omega^{2}-\omega'^{2}}\mathrm{d}\omega'\]
の２式が得られます。ここで \(\omega'\) は積分の変数です。
この２式は、\(\varepsilon_{r1}\) の周波数 \(\omega\) 依存性がわかっていれば、\(\varepsilon_{r2}(\omega)\)
が計算でき、逆に\(\varepsilon_{r2}\) の周波数 \(\omega\) 依存性が既知であれば、\(\varepsilon_{r1}(\omega)\)
が計算できることを示しています。この関係はクラマース－クロニヒ（Kramers-Kronig）の関係と呼ばれています。
\(\varepsilon_{r1}\) と屈折率 \(n\)、\(\varepsilon_{r2}\) と消衰係数 \(k\) は一対一の関係で結ばれていますから、\(n\)
と \(k\) は一方の周波数（波長）依存性がわかっていれば、他方は計算できることになります。
以上は「ホプキンソンの重ね合わせの理」を使ってクラマース－クロニヒの関係を導出する手順を示したものです。この方法は高度な数学を使わないでよいのですが、直感的な方法です。数学的に厳密な導出については項を改めることにします。
