光デバイス／光制御素子
＜付録１２＞フーリエ変換
「半導体の物理」２５項でフーリエ級数展開について説明していますが、これとここで説明しようとしているフーリエ変換との違いは何でしょうか。
フーリエ級数は周期関数を級数の形で展開して表すものでした。項数を増やすほどもとの周期関数へ漸近するのが特徴です。
一方、ここで説明しようとしているフーリエ変換はその対象が単発信号である点がフーリエ級数と異なります。例えばインパルスのような一回だけの信号を対象とします。
フーリエ級数でこのような単発現象を表そうとするならどうしたらよいでしょうか。単発現象は一度だけしか起こらない現象ですから、繰り返し周期をもつ現象からみると非常に繰り返し周期が長い現象とみることができます。一度起きた現象がつぎに起きるのはずっと長い先になるのでまあ一度しか起こらないとみなしてもよいだろうと考えるわけです。
このような考えでフーリエ級数から考えを進めてみます。
周期 \(d\) の周期関数 \(f(x)\) をフーリエ級数に展開すると
\[f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n\mathrm{e}^{ik_n x}\]
\(n\neq 0\) の場合、
\[\begin{align}c_n &= \frac{1}{d}\int_{-d/2}^{d/2}f(x)\mathrm{e}^{ik_nx\mathrm{d}x} \\ &=\frac{1}{d}\int_{-d/2}^{d/2}f(x)\cos\left (\frac{2n\pi x}{d}\right )\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{n\pi}\sin\left (\frac{n\pi}{2}\right )\end{align}\]
ただし、\(k_n =\frac{2\pi n}{d}\) です。また
\(n=0\) の場合は
\[\begin{align}c_0 &=\frac{1}{2d}\int_{-d/2}^{d/2}\cos\left (\frac{n\pi x}{d}\right )\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2d}\int_{-d/2}^{d/2}d\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2}\end{align}\]
となります。\(n\neq 0\) の場合について具体的に計算すると、\(c_1 =c_{-1}=1/\pi\)、\(c_2 =c_{-2} =0\)、\(c_3 =c_{-3}=-1/{3\pi}\) 、等々となります。ここで周期 \(d\) を \(m\)倍の \(md\) とした場合を考えます。この場合の\(c_n\) は
\(n\neq 0\) の場合、
\[c_n =\frac{1}{n\pi}\sin \frac{n\pi}{2m}\]
であり、\(n=0\) の場合は\(c_0 =1/2m \) となります。この \(m\) が無限大になった場合を考えれば、単発信号が扱えると考えます。この場合、つぎのように積分へ置き換えることができると考えられます。
\[\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n =\int_{-\infty}^{\infty}c\cdot\mathrm{d}n\]
\[c_n =\frac{1}{2md}\int_{-md}^{md}f(x)\exp\left (-\frac{in\pi x}{md}\right )\mathrm{d}x\]
ここで \(k=n\pi/md\) とおくと、\(\mathrm{d}n=(md/\pi)\mathrm{d}k\) ですから
\[f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}c_n \exp\left (\frac{in\pi x}{md}\right )\mathrm{d}n=\int_{-\infty}^{\infty}c_n \mathrm{e}^ {-ikx}\cdot\frac{md}{\pi}\mathrm{d}k\]
となり、\(c_n\) は
\[c_n =\frac{1}{2md}\int_{-md}^{md}f(x)\mathrm{e}^{-ikx}\mathrm{d}x\]
で与えられます。さらに上式を書き直して
\[\begin{align}f(x) &= \int_{-\infty}^{\infty}\left\lbrace\frac{1}{2md}\int_{-md}^{md}f(x)\cdot\mathrm{e}^{-ikx}\mathrm{d}x\right\rbrace\mathrm{e}^{ikx}\cdot\frac{md}{\pi}\mathrm{d}k \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left\lbrace\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-md}^{md}f(x)\cdot\mathrm{e}^{-ikx}\mathrm{d}x\right\rbrace\mathrm{e}^{ikx}\mathrm{d}k\end{align}\]
ここで \(m\rightarrow\infty\) とすると、
\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left\lbrace\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot\mathrm{e}^{-ikx}\mathrm{d}x\right\rbrace\mathrm{e}^{ikx}\mathrm{d}k\]
となります。以上のようにして単発信号に対応するように拡張した式が得られます。そこでつぎの \({\frak F}[f(x)]=F(k)\) をフーリエ変換、\({\frak F}^{-1}[F(k)]=f(x)\) をフーリエ逆変換と呼びます。
＜\(f(x)\) のフーリエ変換＞
\[{\frak F}[f(x)]=F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-ikx}\mathrm{d}x\]
＜\(F(k)\) の逆フーリエ変換＞
\[{\frak F}^{-1}[F(k)]=f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(k)\mathrm{e}^{ikx}\mathrm{d}k\]
いくつか代表的な関数のフーリエ変換の例を記しておきます。途中計算は省略します。
単一方形波パルス
パルス幅を \(T\) とすると
\[F(k)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin kT}{k}\]
指数関数
\(x \ge 0\) だけで定義される次式で表される指数関数、ただし \(a\gt0\) とします。、
\[\begin{align}f(x) &= \mathrm{e}^{-ax}~~~~~x \ge 0 \\ &= 0~~~~~~~~~~x \lt 0 \end{align}\]
\[\begin{align}F(k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{a+ik} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{a-ik}{a^2 +k^2}\end{align}\]
ガウス型関数
\[\begin{align}f(x) &= \exp(-ax^2) \\ F(k) &= \frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left (-\frac{k^2}{4a}\right )\end{align}\]
デルタ関数
デルタ関数は階段状の関数の微分で定義されます。階段状関数 \(s(x)\) は点 \(x=a\) について
\[\begin{align}s(x-a) &= 0~~~(x\lt 0) \\ &= 1~~~(x\gt 0)\end{align}\]
と表せ、デルタ関数 \(\delta (x-a)\) は
\[\delta (x-a)=\frac{\mathrm{d}s(x)}{\mathrm{d}x}\]
と定義されます。
\[\begin{align}f(x) &= \delta (x-a) \\ F(k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-ika)\end{align}\]
なお、デルタ関数の積分は
\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta (x-a)\mathrm{d}x=1\]
です。
三角関数
\[f(x)=\cos(ax)~~~\Rightarrow~~~F(k)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\lbrace\delta(k-a)+\delta(k+a)\rbrace\]
\[f(x)=\sin(ax)~~~\Rightarrow~~~F(k)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}i\lbrace\delta(k+a)-\delta(k-a)\rbrace\]
上記のデルタ関数が入ってくるのが特徴です。
