科学・基礎／半導体デバイス物理

１５．金属－絶縁体－半導体構造における電荷分布

　前項まで半導体同士が接合した場合、金属と半導体が接触した場合を順に考えてきましたが、ここからは金属と半導体の間に絶縁体が挟まった金属－絶縁体－半導体構造を取り上げます。

　この構造は言うまでもなく、絶縁ゲート電界効果トランジスタ（ＩＧＦＥＴ）という重要なデバイスに使用されています。この電界効果トランジスタの理論の基礎となるのが、金属－絶縁体－半導体構造ダイオードの理論です。このダイオードは２つの電極間に絶縁膜が挟まっていますから、この絶縁膜が極端に薄くない限り、電極間に流れる電流は通常無視されます。つまりこのダイオードはコンデンサ素子とみることができます。

　２つの金属板を対向させたコンデンサでは、２つの金属板の間に電圧をかけると、各金属板に符号が反対で等しい量の電荷が貯まります。この事情は片側の電極 が半導体であっても変わりません。反対側の金属電極と符号が反対で等しい量の電荷が半導体表面に生じなければなりません。このために、２枚の金属電極で誘電体を挟んだ普通のコンデンサとは違った特性が現れます。それについは「絶縁ゲート電界効果トランジスタ」のセクションの４項で説明していますが、蓄積状態、空乏状態、反転状態と呼ばれる３つの異なる電荷分布状態が生じます。

　半導体中には電子と正孔のほかに電子または正孔を生じさせるドナーまたはアクセプタと呼ばれる不純物があり、これらも電子または正孔を離した（解離したと言います）状態で正または負の電荷を持ちます。これらのいずれかによって半導体表面に正または負の電荷を発生できますが、そのためには半導体表面付近に電位の傾斜、言い換えればバンドの曲がりがなければなりません。以下ではこのバンドの曲がり、すなわち電位の分布を考えます。

　そこで半導体内の電荷分布 \(Q \left ( x\right )\) と電位分布 \(\psi \left ( x\right )\) を求めることにします。このためにここでもポアソン方程式を解くことになります。ｎ型半導体について図１５－１のように絶縁体との界面を \(x=0\)にとり、\(\psi\) は電位の傾きのない界面から離れたところを基準 （\(\psi=0\)） にとります。

　ポアソン方程式は \[\frac{\mathrm{d^{2}} \psi }{\mathrm{d} x^{2}}=-\frac{Q\left ( x \right )}{\varepsilon \varepsilon _{0}}\] ここで \(Q \left ( x\right )\) は電子濃度 \(n\) と正孔濃度 \(p\)、それにイオン化したドナー濃度 \(N_{D}\) からなります。ｎ型半導体を考えているのでアクセプタ濃度は無視しますが、必要な場合は加えます。 \[Q\left ( x \right )=e\left ( N{_{D}}^{+} -n+p\right )\]

　電子濃度と正孔濃度は \[n=n_{0}\exp \left ( \frac{e\psi }{kT} \right )\] \[p=p_{0}\exp \left ( -\frac{e\psi }{kT} \right )\] と書けます。半導体の界面から遠いところでは電荷はバランスしている筈ですから \[N{_{D}}^{+}=n_{0}-p_{0}\] です。これをポアソン方程式に適用すると、 \[\frac{\mathrm{d}^{2} \psi }{\mathrm{d} x^{2}}=-\frac{e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}\left [ p_{0} \left ( \mathrm{e}^{-e\psi /kT} -1\right )-n_{0}\left ( \mathrm{e}^{e\psi /kT} -1\right )\right ]\tag{1}\] が得られます。これを解くために両辺を \(x\) について積分するわけですが、右辺は表に出ているのが \(\psi\) なのでそのままでは計算ができません。そこで変数を変換するために両辺に \(\mathrm{d}\psi/\mathrm{d}x\) をかけるという数学テクニックを使います。すると左辺は \[\begin{align}\int \frac{\mathrm{d} \psi }{\mathrm{d} x}\cdot \frac{\mathrm{d} ^{2}\psi }{\mathrm{d} x^{2}}dx &= \int \frac{\mathrm{d} \psi }{\mathrm{d} x}\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{\mathrm{d} \psi }{\mathrm{d} x} \right )\mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\mathrm{d} \psi }{\mathrm{d} x}\cdot \mathrm{d}\left ( \frac{\mathrm{d} \psi }{\mathrm{d} x} \right )\end{align}\] となります。右辺は \[\begin{align} &-\frac{e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}\int \left [ p_{0} \left ( \mathrm{e}^{-e\psi /kT} -1\right )-n_{0}\left ( \mathrm{e}^{e\psi /kT} -1\right )\right ]\frac{\mathrm{d} \psi }{\mathrm{d} x}\mathrm{d}x \\ &= -\frac{e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}\int \left [ p_{0} \left ( \mathrm{e}^{-e\psi /kT} -1\right )-n_{0}\left ( \mathrm{e}^{e\psi /kT} -1\right )\right ]\mathrm{d}\psi\end{align}\] となって \(\psi\) についての積分に変換されます。

　ここで電界 \(E\) は \[E=-\frac{\mathrm{d} \psi }{\mathrm{d} x}\] ですから（１）式左辺は \(-E^{2}/2\) となり、右辺は容易に積分できるので、整理すると \[\begin{align}E &= \pm \left ( \frac{2kTn_{0}}{\varepsilon \varepsilon _{0}} \right )^{1/2} \\ &\times \left [ \frac{p_{0}}{n_{0}}\left ( \mathrm{e}^{-e\psi /kT} +\frac{e\psi }{kT}-1\right ) +\left ( \mathrm{e}^{e\psi /kT}-\frac{e\psi }{kT}+1 \right )\right ]^{1/2}\end{align}\tag{2}\] となります。

　ここでガウスの定理を用いると、半導体の表面電荷密度 \(Q_{s}\) は \[Q_{s}=-\varepsilon \varepsilon _{0}E_{s}\] と書けます。ただし \[E_{s}=E\left ( 0 \right )\] \[\psi _{s}=\psi \left ( 0 \right )\] です。これに（２）式の電界 \(E\) を代入すると \[\begin{align}Q_{s} &= \mp \left ( {2kTn_{0}}{\varepsilon \varepsilon _{0}} \right )^{1/2} \\ &\times \left [ \frac{p_{0}}{n_{0}}\left ( \mathrm{e}^{-e\psi_{s} /kT} +\frac{e\psi_{s} }{kT}-1\right ) +\left ( \mathrm{e}^{e\psi_{s} /kT}-\frac{e\psi_{s} }{kT}+1 \right )\right ]^{1/2}\end{align}\tag{3}\] が得られます。この表面電荷密度の上記３つの表面状態との関係を考えます。

（１）蓄積状態（図１５－２（１）） 　この状態では \(\psi_{s}\) は正ですから、 \[p_{0}\ll n_{0}\] \[\frac{e\psi _{s}}{kT}-1 \lt \exp \left (\frac {e\psi_{s}}{kT} \right )\] という近似が成り立ちます。したがって（３）式は \[Q_{s}=-\left ( 2kTn_{0}\varepsilon \varepsilon _{0} \right )^{1/2}\exp \left ( \frac{e\psi _{s}}{2kT} \right )\] のように書けます。これより \(Q_{s}\) は負電荷で \(\psi_{s}\) が増加すると、電荷密度（の絶対値）は急増することがわかります。

（２）空乏状態（図１５－２（２）） 　この状態では \(\psi_{s}\) の範囲を \[2\psi _{B} \lt \psi _{s} \lt 0\] と考えます。ここで \(\psi_{B}\) は半導体内部でのフェルミレベル \(E_{F}\) とバンドギャップ中央のエネルギー \(E_{i}\) との差に相当し \[e\psi_{B}=E_{i}-E_{F}\]で、この場合負の値です。

この範囲では \[\exp \left ( \frac{e\psi_{s}} {kT}\right ) \lt \left | \frac{e\psi _{s}}{kT}-1 \right |\] が成り立ちます。したがって（３）式は \[Q_{s}=\left ( 2en_{0} \varepsilon \varepsilon _{0}\right )^{1/2}\sqrt{\left | \psi _{s} \right |}\] のように書けます。

（３）反転状態（図１５－２（３）） 　この状態では \[\psi _{s} \lt 2\psi _{B}\] で、（３）式の \[\frac{p_{0}}{n_{0}}\exp \left ( -\frac{e\psi _{s}}{kT} \right )\] の項が大きくなります。したがって（３）式の他の項を無視して \[Q_{s}=\left ( 2kTn_{0} \varepsilon \varepsilon _{0}\right )^{1/2}\frac{p_{0}}{n_{0}}\exp \left ( -\frac{e\psi _{s}}{2kT} \right )\] となります。この状態では \(Q_{s}\) は正電荷となり、\(\psi_{s}\) が増加すると、電荷密度は急増します。

　なお、（１）と（２）の境目、すなわち \[\psi _{s}=0\] の点では \[Q_{s}=0\] となります。この状態では図１５－３に示すように半導体表面でバンドに曲がりがなくなるので、フラットバンド状態と呼んでいます。

　上記の \(Q_{s}\) と \(\psi_{s}\) の関係を図示すると、図１５－４のようになります。縦軸の \(Q_{s}\) の単位は \(C/m^{2}\) ですが、ここでは関数の形を示せればよいので数字を入れず、相対値としました。なお、\(p_{0}/n_{0}\) の値は \(10^{-15}\) としましたが、この値によって特に反転層の電荷が増加する横軸 \(\psi_{s}\) の値が大きく変わってきます。