産業／信頼性

６．ワイブル解析

　前項で関数としてのワイブル分布の式を説明しましたが、寿命試験の結果得られたデータをどのように当てはめて計算するのかを、３項で示した模擬データを使って説明してみます。

　現在のようにコンピュータ（ＰＣ）が普及する前（1980年代初めくらいまででしょうか）はちょっとした式を計算するのも一苦労でしたので、解析計算を少しでも楽にするためにいろいろな工夫がなされていました。その典型例は対数グラフ用紙でしょう。片対数グラフ紙と両対数グラフ紙は技術系の人には必須のアイテムでした。

　ワイブル分布についても図６－１に示すようなワイブル確率紙という特殊な目盛を印刷したグラフ用紙が市販されていました。現在では必要なくなってしまいましたが、その考え方はワイブル分布を使った解析には有用ですから、それを簡単に紹介しておきます。

　まずワイブル分布の式を再度掲げます。 　　　\[R\left ( t \right )=1-F\left ( t \right )=\exp \left [ -\left ( \frac{t}{\eta } \right )^{m} \right ]\] ただし簡単のために \(\gamma =0\) としました。少し書き直すと 　　　\[\frac{1}{1-F\left ( t \right )}=\exp \left ( \frac{t}{\eta } \right )^{m}\] と書けます。この両辺の自然対数をとっても等式はそのまま成り立ちます。 　　　\[\ln \frac{1}{1-F\left ( t \right )}=\left ( \frac{t}{\eta } \right )^{m}\] ここでさらにもう一度両辺の対数をとります。すると 　　　\[\ln \ln \frac{1}{1-F\left ( t \right )}=m\ln t-m\ln \eta\tag{1}\] が得られます。

　ここで、 　　　\[\begin {align} y &= \ln \ln \frac{1}{1-F\left( t \right )} \\ 　　　x &= \ln t \\ b &= m\ln\eta \end {align} \] と置くと、（１）式は 　　　\[y=mx-b\] という直線の方程式になり、直線の傾きから \(m\)、切片から \(\eta\) が得られることがわかります。ワイブル確率紙では、\(F\left ( t\right )\) と \(t\) のデータを縦軸と横軸にプロットすれば上式の \(x\) と \(y\) を計算しなくても自動的にｘ－ｙの関係になるように目盛りが作られているのがミソです。これを使えばＰＣがなくても簡単にｘ－ｙの関係が直線になっているかどうかが確認でき、その傾きと切片も簡単に求められるようになっていました。現在ではこれを使わなくても、ＰＣを使って簡単に結果が得られます。それも大げさにプログラムを組むまでもなく、表計算ソフトに用意されている関数を使えば、同じ計算処理ができるのでまったく手軽になりました。

　ここまでは連続関数で説明してきましたが、実際のデータはある時間 \(t_{i}\) に \(r_{i}\) 個故障が発生したという点のデータです。このデータを当てはめるには次のようにします。前にも示したように累積故障確率 \(F\left ( t_{i}\right )\) は 　　　\[F\left ( t_{i}\right )=\frac{\sum ri}{n}\] と表せます。この式の右辺の分子は \(t_{i}\) までに発生した累積の故障数です。分母の \(n\) は試験に使ったサンプルの数です。

　この式をそのまま使ってもいいのですが、\(n\) が十分大きくないときは誤差が発生しやすいため、つぎのような何種類かの式が使われています。 　　　\[F\left ( t_{i} \right )=\frac{\sum ri}{n+1}\] あるいは 　　　\[F\left ( t_{i} \right)=\frac{\sum ri-0.3}{n+0.4}\] などです。これらがどこから出てくるのかについては長くなるので省略します。以下では上の方の式を使いました。

　この \(F\left ( t_{i}\right )\) を \(F\left ( t\right )\) の代わりに使って \(x\) と \(y\) の関係を求めます。データとしては３項で示した模擬データをそのまま使いました。

　ｘ－ｙの関係をプロットした結果が図６－２（ａ）～（ｃ）です。どれもほぼ直線になっています。グラフに引かれた直線は表計算ソフト（Ｅｘｃｅｌ）の近似曲線を引く機能を使って求めたもので、最小二乗法によるものです。傾き、切片も表示されます。図中に \(m\) の値を示しましたが、（ａ）は \(m \lt 1\)、（ｂ）は \(m \simeq 1\)、（ｃ）は \(m \gt 1\)に相当します。

＜Excel関数＞　

ワイブル分布

　関数形＝WEIBUL.DIST(x,m,\(\eta\),FUNC)またはWEIBUL.(x,m,\(\eta\),FUNC)　

　引数：　x: 変数、m. \(\eta\): 上記パラメータ、FUNC: 出力の種類（TRUE: 累積分布関数の値、FAULSE: 確率密度関数の値 ）