光デバイス／光制御素子

＜付録５＞モード結合理論

　一つの光導波路には１３項で説明したように、その構造に固有のモードの光が存在します。屈折率の一様な媒体中をｚ方向に進行する光の電界 \(\boldsymbol{E}\) と磁束密度 \(\boldsymbol{B}\) の固有モードは \(\omega\) を角周波数、\(\beta\) を伝搬常数として

\[\begin{align}\boldsymbol{E} &= \boldsymbol{E} (x,y)\exp\lbrace i(\omega t-\beta z)\rbrace \\ \boldsymbol{B} &= \boldsymbol{B}(x,y)\exp\lbrace i(\omega t-\beta z)\rbrace\end{align}\]

となります。１３項ではｙ方向は一様としていますが、ここではｙ方向の変化も考慮した式としています。これらはマクスウェル方程式

\[\begin{align}\nabla\times\boldsymbol{E} &= -i\omega\boldsymbol{B} \\ \nabla\times\boldsymbol{B} &= i\omega\varepsilon_0 n^2 \mu_0 \boldsymbol{E}\end{align}\tag{1}\]

を満たすので

\[\begin{align}\nabla\times\boldsymbol{E}(x,y)\mathrm{e}^{-i\beta z} &= -i\omega\boldsymbol{B} (x,y)\mathrm{e}^{- i\beta z} \\ \nabla\times\boldsymbol{B} (x,y)\mathrm{e}^{-i\beta z} &= i\omega\varepsilon_0 n^2 (x,y)\mu_0 \boldsymbol{E} (x,y)\mathrm{e}^{-i\beta z}\end{align}\tag{2}\]

が成り立ちます。\(n(x,y)\) はxy空間に分布する屈折率、\(\varepsilon_0\) と \(\mu_0\) は真空の誘電率と透磁率です。

　さてここで考えるのは２つの光導波路が接近して設けられている場合です。１３項では屈折率が一様な３層からなり、中央の層の屈折率がもっとも高い、いわゆるスラブ導波路の例を示しましたが、この高屈折率層に平行にもう１層、高屈折率層がある場合を考えます。実際には付図５－１に示すような平行な三次元導波路の場合が多いと思います。この２つの高屈折率層が接近している場合は、各層（導波路）が独立に存在する場合の各固有モードが相互に作用を及ぼすようになります。この現象をモード結合といいます。

　このような状態であっても電磁界の様子がマクスウェルの方程式によって記述されるのは当然ですが、屈折率の分布が少し複雑になるだけでモードの計算は困難になります。そこで近似的な解を求めようとするのがモード結合理論です。

　ここでは付図５－２に示すような２つの高屈折領域が接近して配置されている場合を例に説明します。

　各高屈折領域がそれぞれ単独で存在する場合の固有モードは上記同様に次のように書けます。

\[\begin{align}\nabla\times\boldsymbol{E}_m(x,y)\mathrm{e}^{-i\beta_m z} &= -i\omega\boldsymbol{B_m} (x,y)\mathrm{e}^{- i\beta_m z} \\ \nabla\times\boldsymbol{B}_m (x,y)\mathrm{e}^{-i\beta_m z} &= i\omega\varepsilon_0 n_m^2 (x,y)\mu_0 \boldsymbol{E}_m (x,y)\mathrm{e}^{-i\beta_m z}\end{align}\tag{3}\]

　ここで \(m\) は図示したように、２つの導波路に対応して１または２とします。この導波路が図のように接近して配置された場合のモードがどうなるか、マクスウェル方程式を解くことは困難です。そこで近似解として上式の２つの固有モードの線形結合を仮定します。これは摂動法の考え方です。摂動法については付録１で説明していますが、量子力学の波動方程式の解法に特化した説明になっていますのでわかりにくいかもしれませんが、基本的には同じ考え方です。

　仮定する２つの固有モードの線形結合を \(A_1\)、\(A_2\) を定数としてつぎのように書きます。

\[\begin{align}\boldsymbol{E} &= A_1 (z)E_1 (x,y)\mathrm{e}^{-i\beta_1 z} +A_2 (z)E_2 (x,y)\mathrm{e}^{-i\beta_2 z} \\ \boldsymbol{B} &= A_1 (z)B_1 (x,y)\mathrm{e}^{-i\beta_1 z} +A_2 (z)B_2 (x,y)\mathrm{e}^{-i\beta_2 z}\end{align}\]

　これらもマクスウェルの方程式（（１）式）を満たすので（２）式同様の関係が得られますが、これにベクトル演算の公式

\[\begin{align}\nabla\times (A\boldsymbol{E}) &= A\nabla\times\boldsymbol{E}+\nabla A\times\boldsymbol{E} \\ &=A\nabla\times\boldsymbol{E}+\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}z}\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{E}\end{align}\]

を用いると

\[\begin{align}(\boldsymbol{e}_z &\times\boldsymbol{E}_1)\frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z}+(\boldsymbol{e}_z \times\boldsymbol{E}_2)\frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z}=0\tag{4} \\ (\boldsymbol{e}_z &\times\boldsymbol{B}_1)\frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z}-i\omega\varepsilon_0 \mu_0 (n^2 -n_1^2 )A_1 \boldsymbol{E}_1 +(\boldsymbol{e}_z \times\boldsymbol{B}_2)\frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z}-i\omega\varepsilon_0\mu_0 (n_0^2 -n_2^2)A_2\boldsymbol{E}_2 =0\tag{5}\end{align}\]

が得られます。（４）式の左辺を \(X_1\)、（５）式の左辺を \(X_2\) と置くと、\(X_1 =X_2 =0\) ですから、つぎのような積分を行っても結果は 0 になるはずです。すなわち

\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\lbrace\boldsymbol{E}_1^{\ast}\cdot X_2 -\boldsymbol{B}_1^{\ast}\cdot X_1 \rbrace\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0\tag{6}\]

\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\lbrace\boldsymbol{E}_2^{\ast}\cdot X_2 -\boldsymbol{B}_2^{\ast}\cdot X_1 \rbrace\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0\tag{7}\]

です。この２つの式の積分を計算するため、（６）、（７）式の被積分項をそれぞれ \(I_1\)、\(I_2\) とおいて計算を進めます。まず \(I_1\) は

\[\begin{align}I_1 &= \frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z}\lbrace\boldsymbol{E}_1^{\ast}\cdot (\boldsymbol{e}_z \times\boldsymbol{B}_1 )-\boldsymbol{B}_1^{\ast}\cdot(\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{E}_1 )\rbrace \\ &+ \frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z}\lbrace\boldsymbol{E}_1^{\ast}\cdot (\boldsymbol{e}_z \times\boldsymbol{B}_2 )-\boldsymbol{B}_1^{\ast}\cdot(\boldsymbol{e}_z\times\boldsymbol{E}_2 )\rbrace \\ &- i\omega\varepsilon_0 A_1 (n_0^2 -n_1^2 )\boldsymbol{E}_1^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_1 \\ &- i\omega\varepsilon_0 A_2 (n_0^2 -n_2^2 )\boldsymbol{E}_2^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_2\end{align}\]

となるので、ベクトル演算の公式

\[\begin{align}\boldsymbol{E}_1^{\ast}\cdot (\boldsymbol{e}_z \times\boldsymbol{B}_1) &= -\boldsymbol{e}_z \cdot (\boldsymbol{E}_1^{\ast}\times\boldsymbol{B}_1) \\ \boldsymbol{B}_1^{\ast}\cdot (\boldsymbol{e}_z \times\boldsymbol{E}_1) &= \boldsymbol{e}_z \cdot (\boldsymbol{E}_1\times\boldsymbol{B}_1^{\ast})\end{align}\]

を用いると

\[\begin{align}I_1 = &- \frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z}\boldsymbol{e}_z\cdot (\boldsymbol{E}_1^{\ast}\times\boldsymbol{B}_1 +\boldsymbol{E}_1 \times\boldsymbol{B}_1^{\ast}) \\ &- \frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z}\boldsymbol{e}_z\cdot (\boldsymbol{E}_1^{\ast}\times\boldsymbol{B}_2 +\boldsymbol{E}_2 \times\boldsymbol{B}_1^{\ast}) \\ &- i\omega\varepsilon_0 A_1 (n_0^2 -n_1^2 )\boldsymbol{E}_1^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_1 \\ &- i\omega\varepsilon_0 A_2 (n_0^2 -n_2^2 )\boldsymbol{E}_1^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_2 \end{align}\]

となります。\(I_2\) についても同様に

\[\begin{align}I_2 = &- \frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z}\boldsymbol{e}_z\cdot (\boldsymbol{E}_2^{\ast}\times\boldsymbol{B}_1 +\boldsymbol{E}_1 \times\boldsymbol{B}_2^{\ast}) \\ &- \frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z}\boldsymbol{e}_z\cdot (\boldsymbol{E}_2^{\ast}\times\boldsymbol{B}_2 +\boldsymbol{E}_2 \times\boldsymbol{B}_2^{\ast}) \\ &- i\omega\varepsilon_0 A_1 (n_0^2 -n_1^2 )\boldsymbol{E}_2^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_1 \\ &- i\omega\varepsilon_0 A_2 (n_0^2 -n_2^2 )\boldsymbol{E}_2^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_2 \end{align}\]

となります。これらを（６）、（７）式に入れて計算を続けます。以下、煩雑なので積分の上限と下限の \(\pm\infty\) を省略し、\(\int_{-\infty}^{\infty}\rightarrow\int\)　と記します。

　まず

\[\int\int I_1\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0\]

を計算します。

\[\begin{align}\frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z} &+ \frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z}\frac{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_1^{\ast}\times\boldsymbol{B}_2 +\boldsymbol{E}_2\times\boldsymbol{B}_1^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_1^{\ast}\times\boldsymbol{B}_1 +\boldsymbol{E}_1 \times\boldsymbol{B}_1^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ &+ iA_1\frac{\omega\varepsilon_0\int\int (n_0^2 -n_1^2)\boldsymbol{E}_1^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_1\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_1^{\ast}\times\boldsymbol{B}_1 +\boldsymbol{E}_1\times\boldsymbol{B}_1^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ &+ iA_2\frac{\omega\varepsilon_0\int\int (n_0^2 -n_2^2)\boldsymbol{E}_1^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_1^{\ast}\times\boldsymbol{B}_1 +\boldsymbol{E}_1\times\boldsymbol{B}_1^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=0\end{align}\tag{8}\]

\[\begin{align}\frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z} &+ \frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z}\frac{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_2^{\ast}\times\boldsymbol{B}_1 +\boldsymbol{E}_1\times\boldsymbol{B}_2^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_2^{\ast}\times\boldsymbol{B}_2 +\boldsymbol{E}_2 \times\boldsymbol{B}_2^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ &+ iA_1\frac{\omega\varepsilon_0\int\int (n_0^2 -n_1^2)\boldsymbol{E}_2^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_1\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_2^{\ast}\times\boldsymbol{B}_2 +\boldsymbol{E}_2\times\boldsymbol{B}_2^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ &+ iA_2\frac{\omega\varepsilon_0\int\int (n_0^2 -n_2^2)\boldsymbol{E}_2^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_2^{\ast}\times\boldsymbol{B}_2 +\boldsymbol{E}_2\times\boldsymbol{B}_2^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=0\end{align}\tag{9}\]

　ここで導波路１、２の固有モードの伝搬定数をそれぞれ \(\beta_1\)、\(\beta_2\) とします。以下ではこれを、導波路の番号を\(m=1,2\) として \(\beta_m\) と書くことにします。すなわち

\[\begin{align}\boldsymbol{E}_m &= \boldsymbol{E}_{0,m}\exp(-i\beta_m z) \\ \boldsymbol{B}_m &= \boldsymbol{B}_{0,m}\exp(-i\beta_m z)\end{align}\]

として（８）、（９）式を見易いつぎのような形に書き直します。

\[\begin{align}\frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z} &+ c_{12}\frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z}\exp\lbrace-i(\beta_2 -\beta_1)z\rbrace \\ &+ i\chi_1 A_1 +i\chi_{12}A_2 \exp\lbrace -i(\beta_2 -\beta_1)z\rbrace=0\end{align}\tag{10}\]

\[\begin{align}\frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z} &+ c_{21}\frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z}\exp\lbrace-i(\beta_2 -\beta_1)z\rbrace \\ &+ i\chi_{21}A_1 \exp\lbrace -i(\beta_2 -\beta_1)z\rbrace+i\chi_2 A_2=0\end{align}\tag{11}\]

　ここで

\[\chi_{mm'}=\frac{\omega\varepsilon_0\int\int(n_0^2 -n_{m'}^2)\boldsymbol{E}_{0,m}^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_{0,m'}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_{0,m}^{\ast}\times\boldsymbol{B}_{0,m}+\boldsymbol{E}_{0,m}\times\boldsymbol{B}_{0,m}^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\tag{12}\]

\[c_{mm'}=\frac{\int\int\boldsymbol{e}_z \cdot (\boldsymbol{E}_{0,m}^{\ast}\times\boldsymbol{B}_{0,m'}+\boldsymbol{E}_{0,m'}\times\boldsymbol{B}_{0m}^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}\cdot(\boldsymbol{E}_{0,m}^{\ast}\times\boldsymbol{B}_{0,m}+\boldsymbol{E}_{0,m}\times\boldsymbol{B}_{0,m}^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\tag{13}\]

\[\chi_{m}=\frac{\omega\varepsilon_0\int\int(n_0^2 -n_m^2)\boldsymbol{E}_{0,m}^{\ast}\cdot\boldsymbol{E}_{0,m}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\int\int\boldsymbol{e}_z^{\ast}(\boldsymbol{E}_{0,m}^{\ast}\times\boldsymbol{B}_{0,m}+\boldsymbol{E}_{0,m}\times\boldsymbol{B}_{0,m}^{\ast})\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\tag{14}\]

です。なお、\(m=1\) のとき \(m'=2\)、 \(m= 2\) のとき、\(m'=1\) とします。

　（１０）、（１１）式はモード結合方程式と呼ばれ、モード結合理論の結論の式と言えます。\(\chi_{mm'}\)、\(\chi_m\)、\(c_{mm'}\) はそれぞれ異なる意味を持ちますが、モード結合定数と呼ばれます。

　さらに（１０）、（１１）式を変形します。（１０）式から（１１）式を引き、\(c_{12}\exp\lbrace-i(\beta_2 -\beta_1)z\rbrace\) を掛けると、次式を得ます。

\[\frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z}=i\chi_a A_2\exp\lbrace-i(\beta_2-\beta_1)z\rbrace+ia_a A_1\tag{15}\]

ただし、

\[\chi_a =\frac{\chi_{12}-c_{12}\chi_2}{1-|c_{12}|^2}\]

\[a_a=\frac{\chi_{21}c_{12}-\chi_1}{1-|c_{12}|^2}\]

です。一方、（１１）式から（１０）式を引き、\(c_{12}\exp\lbrace i(\beta_2 -\beta_1)z\rbrace\) を掛けると、次式を得ます。

\[\frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z}=-i\chi_b A_1\exp\lbrace i(\beta_2-\beta_1)z\rbrace+ia_b A_2\tag{16}\]

ただし、

\[\chi_b =\frac{\chi_{21}-c_{12}^{\ast}\chi_1}{1-|c_{12}|^2}\]

\[a_b=\frac{\chi_{12}c_{12}^{\ast}-\chi_2}{1-|c_{12}|^2}\]

です。（１５）、（１６）式もモード結合方程式の一形式です。さらに \(c_{mm'},\chi_m \ll\chi_{mm'}\) として \(c_{mm'}\)、\(\chi_m\) を無視すると、つぎのような簡略化したモード結合方程式が得られます。

\[\begin{align}\frac{\mathrm{d}A_1}{\mathrm{d}z} &= -i\chi_{12}A_2 \exp\lbrace-i(\beta_2 -\beta_1)z\rbrace \\ \frac{\mathrm{d}A_2}{\mathrm{d}z} &= -i\chi_{21}A_1\exp\lbrace i(\beta_2 -\beta_1)z\rbrace\end{align}\tag{17}\]

　ここで二つの導波路にｚ方向に同方向に光が伝搬する場合（\(\beta_1\gt 0\)、\(\beta_2 \gt 0\) に対応）について、このモード方程式の解を求めます。なお、二つの導波路に逆方向に光が伝搬する場合は伝搬定数の符号が異なり（例えば、\(\beta_1\gt 0\)、\(\beta_2\lt 0\)）、この場合は二つの光の間に結合は生じません。

　ここで \(A_1\) と \(A_2\) をつぎのように仮定してみます。

\[\begin{align}A_1 (z) &= \left (a_{11}\mathrm{e}^{i\gamma z}+a_{12}\mathrm{e}^{-i\gamma z}\right )\mathrm{e}^{-i\delta z} \\ A_2 (z) &= \left (a_{21}\mathrm{e}^{i\gamma z}+a_{22}\mathrm{e}^{-i\gamma z}\right )\mathrm{e}^{i\delta z}\end{align}\tag{18}\]

　ここで \(\gamma\) は定数とし、 \(\delta=\beta_2 -\beta_1\) と置きました。また \(z=0\) において

\[\begin{align}a_{11}+a_{12} &= A_1 (0) \\ a_{21}+a_{22} &= A_2(0)\end{align}\tag{19}\]

の関係があります。（１８）式の \(A_1\) と \(A_2\) を（１７）式に代入して整理すると

\[\begin{align}\mathrm{e}^{-i\delta z}\lbrace(\gamma-\delta)a_{11}\mathrm{e}^{i\gamma z}-(\gamma+\delta)a_{12}\mathrm{e}^{-i\gamma z}\rbrace &= -\chi (a_{21}\mathrm{e}^{i\gamma z}-a_{22}\mathrm{e}^{-i\delta z}) \\ \mathrm{e}^{i\delta z}\lbrace(\gamma+\delta)a_{21}\mathrm{e}^{i\gamma z}-(\gamma-\delta)a_{22}\mathrm{e}^{-i\gamma z}\rbrace &= -\chi (a_{11}\mathrm{e}^{i\gamma z}-a_{12}\mathrm{e}^{-i\delta z})\end{align}\tag{20}\]

が得られます。ただし簡単のため、\(\chi_{12}=\chi_{21}=\chi\) としました。\(z=0\) においては

\[\begin{align}a_{11}-a_{12} &= \frac{\delta+\chi}{\gamma}A_1(0)+\frac{\delta}{\gamma}A_2(0) \\ a_{21}-a_{22} &= -\frac{\chi}{\gamma}A_1(0)-\frac{\delta}{\gamma}A_2(0)\end{align}\tag{21}\]

が成り立ち、これと（１９）式から

\[\begin{align}a_{11} &= \frac{1}{2\gamma}\lbrace (\gamma+\delta+\chi)A_1(0)+\delta A_2(0)\rbrace \\ a_{12} &= \frac{1}{2\gamma}\lbrace (\gamma-\delta-\chi)A_1(0)-\delta A_2(0)\rbrace \\ a_{21} &= \frac{1}{2\gamma}\lbrace-\chi A_1(0)-(\delta-\gamma)A_2(0)\rbrace \\ a_{22} &=\frac{1}{2\gamma}\lbrace\chi A_1(0)+(\delta+\gamma)A_2(0)\rbrace\end{align}\tag{22}\]

がそれぞれ得られます。これらを（１８）式に代入すると、\(A_1(z)\) と \(A_2(z)\) の一般解が得られます。複素数をオイラーの公式を用いた形式で書くと

\[\begin{align}A_1(z) &= \left [\lbrace\cos(\gamma z)+i\frac{\delta}{\gamma}\sin(\gamma z)\rbrace A_1(0)-i\frac{\chi}{\gamma}\sin(\gamma z)A_2(0)\right ]\mathrm{e}^{-i\delta z} \\ A_2(z) &= \left [-i\frac{\chi}{\gamma}\sin(\gamma z)A_1(0)+\lbrace\cos(\gamma z)-i\frac{\delta}{\gamma}\sin(\gamma z)\rbrace A_2(0)\right ]\mathrm{e}^{i\delta z}\end{align}\tag{23}\]

となります。

　ここで導波路１にだけ光が入射している場合を考えます。すなわち \(A_1(0)=A_0\)、\(A_2(0)=0\) とします。このとき、導波路１、２の位置 \(z\) におけるパワー \(P_1(z)\)、\(P_2(z)\) を入射光のパワー \(P_0\) で規格化して表すと

\[\begin{align}P_1(z) &= \frac{|A_1(z)|^2}{|A_0|^2} \\ P_2(z) &= \frac{|A_2(z)|^2}{|A_0|^2}\end{align}\]

と書けます。これに（２３）式の結果を代入して整理すると、

\[\begin{align}P_1(z) &= 1-F\sin^2(\gamma z) \\ P_2(z) &= F\sin^2(\gamma z)\end{align}\tag{24}\]

という簡単な関係が得られます。ただし \(F\) は

\[F=\left (\frac{\chi}{\gamma}\right )^2 =\frac{1}{1+(\delta/\chi)^2}\tag{25}\]

です。ここで

\[\gamma^2 =\chi^2 +\delta^2\tag{26}\]

の関係を用いました。この関係は（１７）式などから求められます。

　（２４）式の関係を図示すると付図５－３のようになります。

　２つの導波路の伝搬定数が等しい（\(\beta_1 =\beta_2\)）場合、すなわち \(\delta=0\)、\(F=1\) の場合は、（ａ）に示すように

\[z=\frac{\pi}{2\gamma}(2m+1)~~~~~~~m=0,1,2,\cdots\tag{27}\]

のところでエネルギーが反対側の導波路に乗り移ることが示されます。\(m=0\) の場合の距離 \(z=L_c\)、すなわち

\[L_c=\frac{\pi}{2\gamma}=\frac{\pi}{2\sqrt{\chi^2 +\delta^2}}\tag{28}\]

を結合長と呼んでいます。

　もちろん、完全な乗り移りを起こさないように調整することができます。上の図の（ａ）をみれば明らかなように

\[z=\frac{\pi}{4\gamma}(2m+1)~~~~~~~m=0,1,2,\cdots\tag{27}\]

のところではエネルギーの１／２が乗り移ります。つまり両方の導波路にエネルギーが等分されます。導波路の応用ではこのエネルギーを等分する必要がよく生じます。この場合にもこの方向性結合器が利用されます。入力を0.5：0.5に分けることから、これを３ｄＢカップラーと呼んでいます。　

　２つの導波路の伝搬定数が等しくない場合（\(\beta_1 \ne \beta_2\)）は、（ｂ）、（ｃ）に示すようにエネルギーの移行の割合が小さくなります。伝搬定数が大きい導波路の側にエネルギーが残存しやすいためです。