光デバイス／光制御素子

＜付録４＞導波モード

　１３項で説明した光導波路（スラブ導波路に限定しましたが）の理論について、少し補足をします。

　まず１３項の（３）式を再掲します。ただし、\(E_y\) を含むTEモードに関する（１）～（３）式、\(B_y\) を含むTMモードに関する（４）～（６）式に並べ替えてあります。　

\[\begin{align}-i\beta B_x &- \frac{\partial B_z}{\partial x} = i\omega\mu_0 \varepsilon_0 n^2 E_y \tag{1} \\ i\beta E_y &= -i\omega B_x \tag{2}\\ \frac{\partial E_y}{\partial x} &= -i\omega B_z \tag{3} \\-i\beta E_x &- \frac{\partial E_z}{\partial x} =-i\omega B_y \tag{4} \\i\beta B_y &= i\omega\mu_0\varepsilon_0 n^2 E_z \tag{5} \\ \frac{\partial B_y}{\partial x} &= i\omega\mu_0\varepsilon_0 n^2 E_z \tag{6} \end{align}\]

　この６つの式はスラブ導波路中を伝搬する光（電磁波）の電界と磁束密度についてのマクスウェル方程式をそれぞれｘｙｚ成分に分解して示したものです。この式をみていると一定の規則があることがわかります。それをまとめるとつぎのような形に書けることがわかります。

\[\frac{\partial}{\partial x}\left (p\frac{\partial \phi}{\partial x}\right )+\left (k_0^2 q-\beta^2 \right )\phi =0\]

ただし、TEモードについては \(p=1\)、\(q=n^2 \)、\(\phi = E_y\) 、TMモードについては \(p=1/n^2 \)、\(q=1\)、\(\phi = B_y \) とします。この

\[(\Delta^2 +A^2)f(x,y,z)=0\]

という形の２階偏微分方程式をヘルムホルツ（Helmholz）方程式と呼び、波動方程式など物理学でよく現れる形の方程式です。このため解の関数形は１３項で述べたように定まっています。ただし \(\Delta^2\) はラプラシアン、\(A\) は定数です。１３項（４）式は当然、この形になっています。

　この波動方程式から得られる固有値方程式は１３項（１０）式や（１２）式のように示されますが、これも規格化することにより、統一的に書くことができます。この規格化をするためにつぎのパラメータを定義します。

\[V=\frac{\pi}{\lambda}(2a)\sqrt{n_1^2 -n_2^2}\]

　\(V\) を規格化周波数と呼びます。\(2a\) は導波路コア層の厚み、\(n_1\) はコア層の屈折率、\(n_2\) はクラッド層（の一方）の屈折率です。また

\[b=\frac{n_{eff}^2 -n_2^2}{n_1^2 -n_2^2}\]

を規格化伝搬定数と呼びます。\(n_{eff}\) は等価屈折率です。さらに

\[a=\frac{n_2^2 -n_3^2}{n_1^2 -n_2^2}\]

を非対称性の尺度とします。\(n_3\) は他方のクラッド層の屈折率です。\(n_2 =n_3\) の対称導波路ならば \(a=0\) となります。

　この \(V\) と \(b\) を用いて１３項（１０）式の固有値方程式を書き直すと

\[V\sqrt{1-b}=(m+1)\pi -\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-b}{b}}-\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-b}{b+a}}\]

となります。\(b\) と \(V\) の関係は１３項の図１３－２を規格化したものとなります。なお、１３項（１２）式のTMモードに対する式は \(n_2^2/n_1^2\)、\(n_3^2/n_1^2\) が残った形になります。